בס"ד

 

אקילס והצב

 

הפרדוקס שנציג כאן מפורסם מאוד. הוא מיוחס לפילוזוף היוני זנו מאליה (Zeno of Elea) אשר חי לפני כ 2500  שנה.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


הצב התערב עם אקילס שהוא הצב ינצח את אקילס בכל תחרות ריצה, מרגע שאקילס יתן לו לזנק מקו אשר יימצא במעט לפני קו הזינוק של אקילס עצמו.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ויאמר אקילס בלבו: "אני רזה, שרירי ובכושר, והצב כבד ואיטי מאוד. איך הוא מעז לחשוב שהוא ינתח אותי?"

ובקול רם: " כמה מטרים לפני יהיה קו הזינוק שלך?"

ויען הצב: "עשרה מטרים יספיקן הפעם".

אקילס: חבר,  תפסיד!

הצב: "אדרבא, אדרבא, אנצח ואוכיח לך את דברי. נניח שתתן לי יתרון של 20 מ' בקו הזינוק. תוך כמה זמן תעבור את עשרים המטרים האלה?

אקילס: תוך שתי שניות אחת!

הצב: במשך שתי השניות האלה, מה אתה חושב שאעשה? אתקדם, ז"א שכאשר תגיע  לסוף עשרים המטרים האלה, כבר לא אהיה שם!

אקילס: אתה לא תהיה ביותר ממטר משם!

הצב: בסדר. נניח שאיהיה אז בדיוק מטר מקו הזינוק שלי.

אקילס: זה לא רחוק כל כך ובמהרה אהיה שם גם אני!

הצב: נכון, אבל אז אני לא אהיה שם, אלא קצת קדימה.

אקילס: מעט מאוד ובלי קושי אשיג אותך שם.

הצב: לא, כי עד אז אתקדם עוד קצת. בעצם, לא תשיג אותי לעולם! בכל רגע תצטרך להגיע למקומי, אבל בינתיים אתקדם ואז תצטרך שוב להשיג אותי וכן הלאה

אקילס חשב בשקט כמה רגעים ובסוף הודה:" אתה צודק, נצחת!".

 

 

הספור הנ"ל הוא הגירסה הידועה ביותר של הפרדוקס אשר רצה זנו לתאר. אפשר לתאר את אותו הפרדוקס בצורה הבא: נניח שאקילס רוצה לעבור מצד מזרח לצר מערב של הכיכר המרכזי בעירו. נניח שהמרחק הוא 100 מ'. תחילה עליו לעבור מחצית המרחק דהיינו 50 מ' ,  אח"כ מחצית ממה שנשאר דהיינו 25 מ', אח"כ מחצית ממה שנשאר דהיינו 12.5 מ' וכן הלאה. אחרי כל מעבר כזה, הוא צריך לעבור מחצית המרחק הנשאר לפניו. בעצם, לעולם אקילס לא יגיע למחוז חפצו ...

 

באופן כללי, נניח שהמרחק אשר אקילס רוצה לעבור הוא 2a. בשלב הראשון, הוא יעבור a , אח"כ הוא יעבור a/2, אח"כ הוא יעבור a/4, אח"כ a/8 וכו'. המרחקים מצטברים והוא עובר

 

אפשר לכתוב את הסכום האינסופי הזה בצורה הבאה:

סכום אינסופי כזה נקרא טור או טור אינסופי. השאלה המתבקשת היא: האם סכום של אינסוף איברים יכול להיות מספר או האם הוא חייב להיות אינסופי, או אולי בכלל לא מוגדר?

 

לא נפתח כאן את תורת הטורים האינסופיים. נעיין רק בטור אשר בסוגריים הנ"ל:

 

 

האיברים של הטור האינסופי הם האיברים של סדרה הנדסית מאיבר ראשון השוה ל  - 1  וממנה השוה ל ½. נסמן ak=(1/2)k ונחשב את הסכום של n האיברים הראשונים בטור הנ"ל:

כאשר המספר הטבעי n הולך וגדל, המספר  מתקרב ל – 0 ; אומרים ש- שואף ל - 0 כאשר n שואף לאינסוף. לכן , כאשר n שואף לאינסוף הסכום   שואף ל - 2.

 

התאור המתמטי הנ"ל מראה שבאינסוף צעדים עוברים מרחק סופי  .

 

 

כעת נוכל לפתור את הפרדוקס: נניח שאקילס מגיע לאמצע הדרך מן הצד המזרחי אל הצד המערבי של הכיכר בתוך 12 שניות (כאן הוא הולך במהירות רגילה של 4 קמ"ש). את מחצית הדרך הנשארת הור יעבור ב - 6 שניות, את מחצית הדרך הנשארת אז ב3- שניות וכו'. בעצם המספר 12 הוא הערך של המספר a אשר הופיע בנוסחה הכללית לעיל. מה שעשינו קודם מראה שאקילס יעבור את הכיכר ממזרח למערב באינסוף שלבים, אבל בסך הכל כל המעבר יארך 24 שניות!

 

 

זנו השתמש בפרדוקס הזה  כדי להוכיח שתנועה היא דבר בלתי אפשרי. קורה יקר, האם תסביר לנו (ולעצמך) איך להשתמש באותו ספור ולהוכיח שאקילס היה יכול לנצח את המירוץ?

 

 

ובסוף, נשאל שאלה קצת שונה: שתי רכבות תוצאות זו לקראת זו על אותה מסילה, מתחנות המרוחקות ב - 100 ק"מ. שתי הרכבות נוסעות באותה המהירות והיא קבועה. זבוב יוצא מחזית הקטר הראשון לקראת הקטר השני. כשהו פוגש את הקטר השני הוא חוזר לכוון הקטר הראשון. כשהוא פוגש שוב את הקטר הראשון, הוא חוזר לטוס לכוון הקטר השני, וחוזר חלילה עד הרגע המסוכן שבו שתי הרכבות מתנגשות שבו בזו. האם תוכלו לומר איפה הזבוב נרמס בין הרכבות?

 

 

 

 

עריכה: ד"ר נח ד-פ

      אדר תשס"ב