בס"ד

 

מספרי פיבונצ'י

 

נבנה  סדרת מספרים בצורה הבאה:

        ·          המספר הראשון שווה ל-0

        ·           המספר השני בסדרה שווה ל-1

        ·           כל מספר נוסף בסדרה הוא הסכום של שני המספרים הקודמים. לדוגמא המספר השלישי בסדרה הוא 0+1 ז"א 1. המספר הרביעי הוא 1+1 ז"א 2.

אז איך נראת הסדרה שלנו? הםםםםם.., נחשוב לרגע, והנה:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,3 77, 610, …

 

סדרת מספרים כזאת נקראת סדרת פיבונצ'י, על שם מתמטיקאי איטלקי Leonardo da Pisa שכינויו היה Fibonacci (הוא היה ממשפחת (Bonacci, מהעיר Pisa אשר באיטליה. הוא הוכיח מספר משפטים חשובים במתמטיקה כגון:

        ·           אם x ו-y שני מספרים שלמים, המספר x4-y4 איננו רבוע של מספר שלם.

        ·           לא קיים זוג (x,y) של מספרים שלמים כך ש-המספרים x2+y2  ו- x2-y2   יהיו שניהם ריבועים של מספרים שלמים.

כאן נתרכז בסדרה הנ"ל, הנקראת סדרת פיבונצ'י, כפי שאמרנו.

 


 


פסל פיבונצ'י בעיר פיזה

 

בעצם ע"פ העיקרון שראינו אפשר להגדיר הרבה סדרות שונות, רק נחליף את שני האיברים הראשונים של הסדרה ונקבל סדרה חדשה. הסדרות המתקבלות נקראות סדרות פיבונצ'י כלליות. אבל הסדרה המוכרת בעולם בסדרת פיבונצ'י (אם היינו יכולים, היינו מדגישים את ה' הידיעה) היא סידרתנו המקורית 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … . בהמשך נתרכז בה ונראה כמה מהופעותיה בטבע המרשימות ביותר.


 


 


ארנבות וסדרת פיבונצ'י

הבעיה המקורית אשר פיבונצ'י חקר אותה

 (בסביבות שנת 1202 ל"מ) הייתה "איך לגדל  ארנבות בצורה היעילה ביותר", דהיינו שהילודה

תהיה מהירה ככך האפשר. נשחרר בשדה זוג  ארנבות (זכר ונקבה) שזה עתה נולד. ידוע שאחרי

חודש הנקבה פורייה ויכולה להמליט זוג  חדש בעוד חודש (דהיינו בסוף החודש השני לחייה) וכן כל חודש וחודש.  נניח שהארנבות האלה הן בנות אל-מוות ושכל נקבה ממליטה זוג חדש, זכר ונקבה, כל חודש. כמה ארנבות יהיו בשדה אחרי שנה?

נתאר את ילודה הארנבות ע"י דיאגרמה:

·          בסוף החודש הראשון, הזוג "מתחתן", אבל לא מוליד. לכן יש עדיין זוג אחד.

·           בסוף החודש השני, הזוג מוליד כדמותו וממשיך לחיות. יש כאן שני זוגות.

·           בסוף החודש השלישי, הנקבה המקורית ממליטה זוג. יש כאן שלושה זוגות ארנבות.

·           בסוף החודש הרביעי הנקבה המקורית ממליטה זוג ו הזוג שנולד שחודש השני גם מוליד כדמותו בצלמו, וזה בפעם הראשונה. מסתובבים בשדה 5 זוגות ארנבות שובבות. הדיאגרמה הבאה נותנת המחשה למה שהסברנו: כל שורה מתארת חודש מסוים (השורה הראשונה עבור החודש הראשון, השורה השנייה עבור החודש השני וכו'). הקווים השחורים מראים את הייחוס של זוגות הארנבות.

אחרי לידתו, זוג מסוים מופיע בכל שורה בצבע קבוע.

 

                                                                                                                                      מספר הזוגות

 


 

 

 

 


המספר החודשי של זוגות הארנבות מסתדר איפה לפי הסדרה הבאה:

1, 1, 2, 3, 5, 8, …

 

זאת ההתחלה של סדרת פיבונצ'י.. קצת חשיבה יגיד לנו שבעצם, המשך הילודה של הארנבות יתואר ע"י המשך סדרת פיבונצ'י. לכן בסוף 12 חודש, יסתובבו בדשא  144 זוגות חמודים.

 

 

פרות וסדרת פיבונצ'י

אפשר לחשוב שהבעיה הנ"ל לא כ"כ מציאותית (אם כי קצב התרבות הארנבות מהווה לעיתים קרובות מתרד רציני במקומות מסוימים בעולם. רק תשאלו אוסטרלים.) נציג בעיה דומה וכנראה מציאותית יותר. את השאלה הזאת שאל E. Dudeney מאנגליה בספרו הנקרא:

536 puzzles and Curious Problems

נניח שפרה ממליטה את העגלה הראשונה שלה כאשר היא בת שנתיים. אחר כך היא ממליטה עגלה אחת כל שנה. בהנחה שאף אחת לא מתה בינתיים, כמה פרות ישנן אחרי 12 שנה? נשאיר לקורא את התענוג למצוא את התשובה.

 

מה שעשה פיבונצ'י היה משהו רגיל בעולם המתמטיקה: הוא ניסח הפשטה של הבעיה הקונקרטית ופתר את הבעיה המופשטת.

 

 

מלבנים וספירלות

נשרטט שני רבועים  צמודים עם אורך צלע השווה ל1- . על ידם נשרטט ריבוע שאורך צלעו הוא 2, כך שצלע אחת מתלכדת עם שתי צלעות של הריבועים הראשונים (ראה שרטוט). אחר כך נשרטט ריבוע עם אורך צלע של 3 הבנוי על הצלע של 2 וצלע של 1 מן הריבועים הקודמים. וחוזר חלילה, כאשר מסתובבים תמיד באותו כיוון.


 

 


אנו מקבלים מלבנים שרוחב ואורך שלהם הם שני מספרים עוקבים בסדרת פיבונצ'י. המלבנים האלה נקראים מלבני פיבונצ'י.

 

כעת נחזור לשרטוט הנ"ל ובכל אחד מן הריבועים נשרטט רבע מעגל המשיק לשתי צלעות סמוכות וכך שנוצר קו רציף, כפי שמראים בשרטוט הבא. הספירלה שקבלנו נקראת ספירלת פיבונצ'י.

 


 

 

 

 


אפשר למצוא בטבע הרבה ספירלות דומות לספירלות פיבונצ'י: לדוגמה, הקונכייה של חילזון בנויה כספירלה,  הגרעינים בפרח  החמנייה מאורגנים כמספר ספירלות. להלן צלום רנטגן של הקונכייה של חילזון ים הנקרא Nautilus ותמונה של פרח (מוכר לחובבי מזון טבעי) הנקרא Echinacea purpura.

 


 


Echinacea                                                                      Purpura Nautilus

 

בפרח ה  Echinacea Purpura עלי הכותרת הם סגולים בהירים ובמרכז נמצאים גרעינים. הגרעינים מאורגנים לפי ספירלות כפולות, ספירלות המסתובבות לפי כוון השעון וספירלות המסתובבות נגד כוון השעון. מספר הגרעינים בכל ספירלה הוא אחד מאיברי סדרת פיבונצ'י, תלוי בגודל הפרח עצמו.

 

סדרת פיבונצ'י מופיעה בעוד הרבה הזדמנויות בצמחים שונים (המרחקים בין עלים לאורך הגבעול של צמחים מסוימים הם פרופורציונליים לאיברי סדרת פיבונצ'י (על מנת לקבל  חשיפה מירבית לאור השמש. לא  נתאר את הצמחים האלה כאן, אבל תיתן לכם משימה פשוטה: בהזדמנות הראשונה תתבוננו בכרובית: היא מורכבת מפרחים מרובים מאוד. הפרחים האלה מסודרים לפי ספירלות כפולות. תספרו את הפרחים לאורך כל ספירלה. אחר כך תתלשו פרח אחד ותגלו בתוכו עוד ספירלות.

 

כעת נעבור לארכיטקטורה.

 

סדרת פיבונצ'י ומספר הזהב

נבנה כעת מלבן ABCD ונסמן את האורך AB ב-x ואת הרוחב AD ב-y. נסמן נקודה E על הקטע AB ונקודה F על הקטע DC כך ש- AEFD יהיה רבוע. אורך המלבן EBCF הוא x ורוחב המלבן הזה הוא y. שני המלבנים דומים (ז"א היחס אורך: רוחב שווה  בשניהם)  אם, ורק אם, המשוואה הבאה מתקיימת:

 

.

 המשוואה הזאת שקולה למשוואה הבאה:

נציב . המשווה נכתבת כעת בצורה הבאה:

 

למשוואה הזאת שני פתרונות ממשיים:

  ו-

המספר הראשון שלילי, לכן הוא לא יכול להיות היחס בין אורך לרוחב במלבן (כי שניהם מספרים חיוביים והיחס חייב להיות חיובי). לשאלתנו פתרון אחד והוא . המספר הזה נקרא מספר הזהב או יחס הזהב. נוהגים לסמן אותו באות יוונית F (הקרא "פי", הפ' לא דגושה). בכתיבה עשרונית F»1.618033988. היונים הקדומים חשבו שזה היחס הנכון בין אורך לרוחב מלבן כדי שהמלבן יהיה יפה והרבה מהבניינים המונומנטליים שלהם מן התקופה העתיקה מראים חזיתות שהן מלבני זהב.

 

יחס הזהב מופיע בתחומים אחרים. ניצור עגיל בצורה הבאה: נשרטט עיגול 1C מרדיוס r1.  בתוך C1 נשרטט עגול C2 מרדיוס r2 כך ש- r2<r1 וש- C1 ו-C2 משיקים בנקודה אחת (ראה שרטוט). בין שני העיגולים מוגבל כעין סהר. אפשר לחשב (אבל לא נעשה את זה כאן)  איפה  נמצא מרכז הכובד של האזור התחום בין שני העיגולים. לפעמים מרכז הכובד נמצא בתוך הסהר, לפעמים הוא נמצא בתוך החור! מתי הוא נמצא בדיוק על השפה הפנימית, דהיינו על המעגל C2? התשובה היא: כאשר היחס של שני הרדיוסים שווה ליחס הזהב!